C03_P1 : Cinématique du solide

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Vitesse d'un point appartenant à un solide

Vecteur vitesse

Définition

Définition

Soit un solide auquel on associe le repère , en mouvement par rapport à un solide auquel on associe le repère .

Le vecteur vitesse d'un point appartenant au solide par rapport au solide se calcule donc ainsi :

Remarque

  1. est appelé vecteur vitesse instantané. Sa norme s'exprime en . Tout comme le vecteur position, il dépend du temps, et ses composantes sont des fonctions du temps.

  2. est tangent à la trajectoire du point dans  :  .

  3. On note sans distinction , , ou encore .

  4. Les composantes de peuvent s'exprimer dans n'importe quelle base.

  5. Pour dériver le vecteur position par rapport au repère on peut dans un premier temps chercher à dériver ses composantes exprimée dans la base du repère  . Nous verrons par la suite comment calculer directement la dérivée d'un vecteur par rapport à une base quelconque.

Cas du mouvement de translation

Soit un point d'un un solide en mouvement de translation rectiligne de direction par rapport au repère de référence .

Nous avons vu que dans ce cas : .

Cas du mouvement de rotation autour d'un axe fixe

Soit , un point d'un solide en rotation autour de l'axe fixe par rapport à au repère de référence .

Nous avons vu que dans ce cas : .

Vecteur taux de rotation

Définition

DéfinitionVecteur taux de rotation (ou vecteur vitesse instantané de rotation) entre deux solides

Soit un solide auquel on associe le repère , en mouvement par rapport à un solide auquel on associe le repère .

Les rotations entre le solide et sont paramétrées par les angles d'Euler :

On appelle vecteur taux de rotation ou vecteur instantané de rotation du solide par rapport au solide le vecteur :

\boxed{\, \overrightarrow{\Omega(S_1/S_0)} = \psi'(t) \, \vec z_0 + \theta'(t) \, \vec n + \varphi'(t) \, \vec z_1 \,}
Remarque

  1. , et s'expriment en rad/s et correspondent aux dérivées temporelles des 3 paramètres angulaires utilisés pour orienter une base par rapport à une autre dans le cas du paramétrage d'Euler. Ils aussi parfois notés : , et .

  2. On note sans distinction et .

  3. Le vecteur instantané de rotation est indépendant du point d'application.

  4. On a la relation suivante :

Cas du mouvement de translation

Soit M, un point d'un un solide en translation quelconque par rapport au repère de référence . Un tel mouvement est défini par le fait que la base liée à reste parallèle à elle même au cours du mouvement. Son orientation par rapport à reste donc constante. Conséquence :

Cas du mouvement de rotation autour d'un axe fixe

Soit , un point d'un un solide en rotation autour de l'axe fixe par rapport à au repère de référence . Nous avons vu précédemment que dans ce cas un seul paramètre angulaire est nécessaire : l'angle . Le vecteur taux de rotation est alors défini tel que :

Dérivation vectorielle

Définition

FondamentalFormule de la base mobile, aussi appelée Formule de Bour.

Soient et deux solides en mouvements relatifs et et les repères orthonormés directs associés.

Soit un vecteur quelconque de l'espace. On note le vecteur taux de rotation permettant d'exprimer les rotations entre chacune des deux bases.

La dérivée d'un vecteur dans la base liée à calculée par la formule de la base mobile est :

\boxed{ \quad \left[\dfrac{d\vec v}{dt}\right]_{\mathcal{R}_0} = \left[\dfrac{d\vec v}{dt}\right]_{\mathcal{R}_1} + \overrightarrow{\Omega(S_1/S_0)}\wedge \vec v \quad }

Application au cas d'un solide en rotation autour d'un axe fixe

Soit , un point d'un un solide en rotation autour de l'axe fixe par rapport à au repère de référence , paramétré par l'angle .

Le vecteur vitesse s'écrit :

.

Dorénavant, plutôt que de projeter le vecteur dans et de ne dériver que ses composantes, il est fortement conseillé, dans un souci d'efficacité d'utiliser la formule de la base mobile :

Ainsi :

On retrouve bien le fait que . et donc que

La formule de la base mobile donne ce résultat en calculant uniquement un produit vectoriel.

Pour rappel, sans cette formule, il fallait projeter dans , dériver par rapport au temps ses composantes, factoriser par et reconnaître les composante de dans .

Champ des vecteurs vitesse

Définition

FondamentalFormule du champ des vecteurs vitesse

Soient et deux points appartenant à un solide en mouvement par rapport à . Le champ des vecteurs vitesses est déterminé ainsi :

RemarqueUtilisation du champ de vecteur

  1. La formule du champ de vecteur vitesse est utilisée à chaque fois que la vitesse est connue en un point d'un solide (par exemple une vitesse nulle sur un axe de rotation) et qu'on veut la calculer en un autre point appartenant au même solide.

  2. Conformément aux propriétés du produit vectoriel, cette formule s'écrit aussi :

\boxed{ \overrightarrow{V_{B\in S_1/\mathcal R_0}} = \overrightarrow{V_{A\in S_1/\mathcal R_0}} + \overrightarrow{\Omega(S_1/S_0)} \wedge \overrightarrow{AB} }
ComplémentDémonstration

Soit un solide auquel on associe le repère , en mouvement par rapport à un solide auquel on associe le repère .

Le vecteur vitesse d'un point appartenant au solide par rapport au solide est donné par :

D'après la relation de Chasles, donc :

(1) : par définition du vecteur vitesse :

(2) : d'après la formule de la base mobile :

Or  : car est fixe dans le repère (d'origine ) lié à .

Donc au final :

Cas du mouvement de translation

Soit M, un point d'un un solide en translation quelconque par rapport au repère de référence .

Soit N un autre point quelconque de . D'après la formule du champ des vecteurs vitesse :

.

Or pour un mouvement de translation : , donc :

Conclusion :

A tout instant t, tous les points d'un solide en mouvement de translation par rapport à un repère ont le même vecteur vitesse. On dit que le champ des vitesses est uniforme.

Cas du mouvement de rotation autour d'un axe fixe

Soit un solide en mouvement de rotation autour de l'axe fixe par rapport au repère de référence lié à , et paramétré par l'angle .

Par définition du mouvement de rotation : .

Soit M un point du solide situé à un rayon R de l'axe de rotation. D'après la formule du champ des vecteurs vitesse :

.

On retrouve bien le résultat établi précédemment, mais cette fois-ci, le calcul ne nécessite pas de dérivation, uniquement un produit vectoriel.

Conclusion : pour un mouvement de rotation autour d'un axe fixe,

  • en tout point de l'axe de rotation, la vitesse est nulle : ;

  • donc les vecteurs vitesse sont perpendiculaires aux « rayons » et à l'axe de rotation ;

  • la norme des vecteurs vitesse est proportionnelle à la distance à l'axe et au taux de rotation. Si M est à une distance de l'axe : .

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