C03_P1 : Cinématique du solide

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Lois de mouvement - Lois horaires

Mouvement de translation rectiligne

Dans le cas d'un solide en mouvement de translation rectiligne de direction dans le référentiel de référence , un seul paramètre suffit à connaître la position d'un point lié à à tout instant :

Dans le cas d'un accélération constante, , on peut déterminer par intégration la vitesse et la position du point et établir les lois horaires du mouvement :

$\boxed { \quad \forall t \geq 0, \, \left \{ \begin{array}{l} x''(t) = x''_0 = a_0 =cte \\ x'(t)= v(t) = a_0 \times t+v_0 \\ x(t) = a_0 \times \frac{t^2}{2}+ v_0 \times t+x_0 \end{array} \right . \quad}$

Remarque :

et représentent respectivement la vitesse et la position initiales du point M, soit à l'instant à t=0 s.
Si , on parle de mouvement de translation rectiligne uniformément varié (accéléré ou décéléré).
Si , on parle de mouvement de translation rectiligne uniforme.

Les lois horaires permettent l'étude de la translation d'un solide dans le cadre d'une loi de vitesse en trapèze cumulant :

Phase 1 : mouvement de translation rectiligne uniformément accéléré.

Phase 2 : mouvement de translation rectiligne uniforme.

Phase 3 : mouvement de translation rectiligne uniformément décéléré.

L'étude d'un mouvement commençant à (cas des phases 2 et 3 par exemple) nécessite un changement de variable dans les équations horaires. Les équations horaires deviennent :

$\boxed { \quad \forall t \geq t_i, \,\left \{\begin{array}{l}x''(t) = a_i = cte\\x'(t) = a_i \times (t-t_i)+{v_i}_0 \\x(t) = a_i \times \frac{(t-t_i)^2}{2}+ {v_i}_0 \times (t-ti)+{x_i}_0 \end{array}\right .\quad}$

où et représentent respectivement la vitesse et la position initiales du point pour la phase étudiée, soit à l'instant à .

Mouvement de rotation autour d'un axe fixe

Dans le cas d'un solide S en mouvement de rotation autour d'un axe fixe par rapport au référentiel de référence , un seul paramètre suffit à connaître la position d'un point M lié à S à tout instant. Par analogie avec le mouvement rectiligne, on peut établir les équations horaires du mouvement :

$\boxed { \quad \forall t \geq 0, \, \left \{ \begin{array}{l} \theta''(t) = \theta''_0 = cte \\ \theta'(t) = \theta''_0 \times t+\theta'_0 \\ \theta(t) = \theta''_0 \times \frac{t^2}{2}+ \theta'_0 \times t+\theta_0 \quad \end{array} \right . \quad}$

Remarque :

et représentent respectivement la vitesse angulaire et la position angulaire initiales du point M, soit à l'instant à t=0 s. représente l'accélération angulaire en .
On note souvent pour la vitesse angulaire. Ainsi, , et .
Si , on parle de mouvement de rotation uniformément varié (accéléré ou décéléré).
Si , on parle de mouvement de rotation uniforme.
Tout comme dans le cas du mouvement de translation, ces équations permettent l'étude des mouvement avec une loi de vitesse (angulaire) dite en trapèze.

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