C03_P1 : Cinématique du solide

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Vecteur accélération

Définition

Définition :

Soit un solide auquel on associe le repère , en mouvement par rapport au solide auquel on associe le repère .

Soit un point appartenant au solide . L'accélération de ce point appartenant au solide par rapport au solide est défini par :

Applications

Mouvement de translation rectiligne

Soit , un point d'un un solide en translation rectiligne de direction par rapport au repère de référence .

Nous avons vu que dans ce cas :

Par définition du vecteur accélération , il vient :

d'où :

Mouvement de rotation autour d'un axe fixe

Soit , un point d'un un solide en rotation autour de l'axe fixe par rapport à au repère de référence .

Nous avons vu que dans ce cas :

Par définition du vecteur accélération , il vient :

Ainsi,

Remarque :

Le calcul de met en évidence deux termes :

L'accélération tangentielle : , tangent à la trajectoire comme son nom l'indique. Il traduit les variations de la norme du vecteur vitesse.

L'accélération normale : ayant une direction perpendiculaire à celle du vecteur vitesse et orienté vers l’intérieur de la courbure de la trajectoire (vers le centre du cercle ici). Il traduit les variation de direction du vecteur vitesse.

Champs des vecteurs accélération

Soient deux points et d'un solide en mouvement par rapport à . On rappelle la formule du champ des vecteurs vitesse :

En dérivant cette expression, par définition du vecteur accélération, on obtient :

et sont deux point du solide , considéré indéformable donc :

Ainsi (1) devient :

Ou encore :

Les vecteurs accélération des points d'un solide ne vérifient pas la relation de changement de point du moment d'un torseur à cause de l'existence du dernier terme . Ainsi, le champ des vecteurs accélération des points d'un solide indéformable n'est pas représentable par un torseur.

Composition des vecteurs accélération

Soit un solide S en mouvement par rapport à deux repères et , eux même en mouvement l'un par rapport à l'autre.

Soit un point . Par définition du vecteur accélération :

Par composition des vecteurs vitesse :

Donc :

Par application du champ des vecteurs vitesse :

Donc

(1) :

(2) :

(4) :

Ainsi

$\underbrace{\overrightarrow{\Gamma(M\in S/\mathcal{R}_0)}}_{(I)} =\underbrace{\overrightarrow{\Gamma(M\in S/\mathcal{R}_1)} }_{(II)}+\underbrace{2\, \overrightarrow{\Omega(\mathcal{R}_1/ \mathcal{R}_0)} \wedge \overrightarrow{V(M\in S/\mathcal{R}_1)} }_{(III)}+ \underbrace{\overrightarrow{\Gamma(O_1\in \mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0)}+\overrightarrow{\Omega(\mathcal{R}_1/ \mathcal{R}_0)} \wedge \left(\overrightarrow{\Omega(\mathcal{R}_1/ \mathcal{R}_0)} \wedge \overrightarrow{O_1M} \right)+\left[\dfrac{d \overrightarrow{\Omega(\mathcal{R}_1/ \mathcal{R}_0)}}{dt}\right]_{\mathcal{R}_0} \wedge\overrightarrow{O_1M}}_{(IV)}$

Le terme (IV) peut être simplifié en utilisant l'expression du champ des vecteurs accélération établi au paragraphe 9.3, :

Au final

$\boxed{ \underbrace{ \overrightarrow{\Gamma(M\in S/\mathcal{R}_0)}} _{(I)} = \underbrace{ \overrightarrow{\Gamma(M\in S/\mathcal{R}_1)} } _{(II)} +\underbrace{ 2 \, \overrightarrow{\Omega(\mathcal{R}_1/ \mathcal{R}_0)} \wedge \overrightarrow{V(M\in S/\mathcal{R}_1)} } _{(III)} + \underbrace{ \overrightarrow{\Gamma(M\in \mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0)}} _{(IV)} }$

Chaque termes de l'équation obtenue porte un nom bien précis :

(I) : accélération absolue

(II) : accélération relative

(III) : accélération de Coriolis

(IV) : accélération d’entraînement.

Remarque :

Cette relation n'est pas à apprendre par cœur. Vous devez en revanche savoir de quoi est composée une accélération, identifier et nommer les différents termes du résultat. Vous devez donc savoir refaire ce calcul.

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